1、什么是时间复杂度？

算法复杂度

算法复杂度分为时间复杂度和空间复杂度。其作用： 时间复杂度是指执行算法所需要的计算工作量；而空间复杂度是指执行这个算法所需要的内存空间。

时间复杂度
一个算法花费的时间与算法中语句的执行次数成正比例，哪个算法中语句执行次数多，它花费时间就多。一个算法中的语句执行次数称为语句频度或时间频度，记为T(n)。

一般情况下，算法中基本操作重复执行的次数是问题规模n的某个函数，用T(n)表示，若有某个辅助函数f(n)，使得当n趋近于无穷大时，T(n)/f(n) 的极限值为不等于零的常数，则称f(n)是T(n)的同数量级函数。记作T(n)=O(f(n))，称O(f(n))为算法的渐进时间复杂度，简称时间复杂度。


随着问题规模n的不断增大，上述时间复杂度不断增大，算法的执行效率越低。
**注：**一个算法执行所耗费的时间，从理论上是不能算出来的，必须上机运行测试才能知道。但我们不可能也没有必要对每个算法都上机测试，只需知道哪个算法花费的时间多，哪个算法花费的时间少就可以了。

2、时间复杂度的计算

我们假设计算机运行一行基础代码需要执行一次运算，那么运行下边这个方法就需要执行 2 次运算

int aFunc(void) {    printf("Hello, World!\n");      // 需要执行 1 次return 0;                       // 需要执行 1 次}

再看一个例子：

int aFunc(int n) {for(int i = 0; i<n; i++) {         // 需要执行 (n + 1) 次        printf("Hello, World!\n");     // 需要执行 n 次    }return 0;                          // 需要执行 1 次}

这个方法需要 (n + 1 + n + 1) = 2n + 2 次运算。

我们把算法需要执行的运算次数用输入大小n的函数表示，即 T(n) 。

那么当我们拿到算法的执行次数函数 T(n) 之后怎么得到算法的时间复杂度呢？

1）我们知道常数项对函数的增长速度影响并不大，所以当 T(n) = c，c 为一个常数的时候，我们说这个算法的时间复杂度为 O(1)；如果 T(n) 不等于一个常数项时，直接将常数项省略。

比如： 第一个 Hello World 的例子中 T(n) = 2，所以我们说那个函数(算法)的时间复杂度为 O(1)。T(n) = n + 29，此时时间复杂度为 O(n)。

2）我们知道高次项对于函数的增长速度的影响是最大的。n^3 的增长速度是远超 n^2 的，同时 n^2 的增长速度是远超 n 的。 同时因为要求的精度不高，所以我们直接忽略低次项。

比如: T(n) = n^3 + n^2 + 29，此时时间复杂度为 O(n^3)。

3）因为函数的阶数对函数的增长速度的影响是最显著的，所以我们忽略与最高阶相乘的常数。

比如： T(n) = 3n^3，此时时间复杂度为 O(n^3)。

综合起来：如果一个算法的执行次数是 T(n)，那么只保留最高次项，同时忽略最高项的系数后得到函数 f(n)，此时算法的时间复杂度就是 O(f(n))。为了方便描述，下文称此为大O推导法。

由此可见，由执行次数 T(n) 得到时间复杂度并不困难，很多时候困难的是从算法通过分析和数学运算得到 T(n)。对此，提供下列四个便利的法则，这些法则都是可以简单推导出来的，总结出来以便提高效率。

（1）单个循环体的推导法则

对于一个循环，假设循环体的时间复杂度为 O(n)，循环次数为 m，则这个循环的时间复杂度为 O(n×m)。

void aFunc(int n) {for(int i = 0; i < n; i++) {         // 循环次数为 n        printf("Hello, World!\n");       // 循环体时间复杂度为 O(1)    }}

此时时间复杂度为 O(n × 1)，即 O(n)。

（2）多重循环体的推导法则

对于多个循环，假设循环体的时间复杂度为 O(n)，各个循环的循环次数分别是a, b, c…，则这个循环的时间复杂度为O(n×a×b×c…)。分析的时候应该由里向外分析这些循环。

void aFunc(int n) {for(int i = 0; i < n; i++) {            // 循环次数为 nfor(int j = 0; j < n; j++) {        // 循环次数为 n            printf("Hello, World!\n");      // 循环体时间复杂度为 O(1)        }    }}

此时时间复杂度为 O(n × n × 1)，即 O(n^2)。

（3）多个时间复杂度的推导法则

对于顺序执行的语句或者算法，总的时间复杂度等于其中最大的时间复杂度。

void aFunc(int n) {// 第一部分时间复杂度为 O(n^2)for(int i = 0; i < n; i++) {for(int j = 0; j < n; j++) {            printf("Hello, World!\n");        }    }// 第二部分时间复杂度为 O(n)for(int j = 0; j < n; j++) {        printf("Hello, World!\n");    }}

此时时间复杂度为 max(O(n^2)，O(n))，即 O(n^2)。

（4）条件语句的推导法则

对于条件判断语句，总的时间复杂度等于其中 时间复杂度最大的路径 的时间复杂度。

void aFunc(int n) {if (n >= 0) {// 第一条路径时间复杂度为 O(n^2)for(int i = 0; i < n; i++) {for(int j = 0; j < n; j++) {                printf("输入数据大于等于零\n");            }        }    } else {// 第二条路径时间复杂度为 O(n)for(int j = 0; j < n; j++) {            printf("输入数据小于零\n");        }    }}

    此时时间复杂度为 max(O(n^2), O(n))，即 O(n^2)。

    **时间复杂度分析的基本策略是：从内向外分析，从最深层开始分析。如果遇到函数调用，要深入函数进行分析。**

3、习题练习

（1）基础题

求该方法的时间复杂度：

void aFunc(int n) {for (int i = 0; i < n; i++) {for (int j = i; j < n; j++) {            printf("Hello World\n");        }    }}

    【参考答案】：

    当 i = 0 时，内循环执行 n 次运算，当 i = 1 时，内循环执行 n - 1 次运算……当 i = n - 1 时，内循环执行 1 次运算。

    所以，执行次数 T(n) = n + (n - 1) + (n - 2)……+ 1 = n(n + 1) / 2 = n^2 / 2 + n / 2。

    根据上文说的 大O推导法可以知道，此时时间复杂度为 O(n^2)。

（2）进阶题

    求该方法的时间复杂度：

void aFunc(int n) {for (int i = 2; i < n; i++) {        i *= 2;        printf("%i\n", i);    }}

    【参考答案】：

    假设循环次数为 t，则循环条件满足 2^t < n。

    可以得出，执行次数t = log(2)(n)，即 T(n) = log(2)(n)，可见时间复杂度为 O(log(2)(n))，即 O(log n)。

（3）再次进阶

求该方法的时间复杂度：

long aFunc(int n) {if (n <= 1) {return 1;    } else {return aFunc(n - 1) + aFunc(n - 2);    }}

    【参考答案】：

    显然运行次数，T(0) = T(1) = 1，同时 T(n) = T(n - 1) + T(n - 2) + 1，这里的 1 是其中的加法算一次执行。

    显然 T(n) = T(n - 1) + T(n - 2) 是一个斐波那契数列，通过归纳证明法可以证明，当 n >= 1 时 T(n) < (5/3)^n，同时当 n > 4 时 T(n) >= (3/2)^n。

    所以该方法的时间复杂度可以表示为 O((5/3)^n)，简化后为 O(2^n)。